Aritmetické a geometrické posloupnosti
Posloupnosti a řady > Aritmetické a geometrické posloupnosti
327.) Čínská úloha: Klusák a herka vybíhají z jednoho místa v témž směru. Klusák proběhne za první den 193li, každý následující den o 13li více. Herka uběhne za první den 97li a každý další den o polovinu li méně. Pro proběhnutí 3000li se klusák vrací zpět a na zpáteční cestě potkává herku. Za kolik dní po vyběhnutí se setkají? (Poznámka: li je stará čínská jednotka délky)
326.) V roce 1975 natočila režisérka Věra Plívová - Šimková na motivy knihy Marka Twaina Dobrodružství Toma Sawyera film Páni kluci. V tomto filmu je scéna, v níž má Tomáš natřít za trest plot kolem zahrady své tety Apoleny. Díky své šikovnosti a výmluvnosti mu ho ale pomohou natřít kamarádi i nepřátelé, za což Tomáš pouze inkasuje růžové lístečky, které mu mají dopomoci k výhře, kterou předá zemský školní inspektor a pan ředitel (v nenapodobitelném podání Petra Nárožného). Uvažovanou scénu z filmu lehce pozměníme pro své potřeby: předpokládejme, že Tomášova teta vlastní zahradu, na jejíž oplocení je třeba 65 m plotu, který je tvořen z 10 cm širokých planěk, mezi nimiž je mezera 10 cm (i v rohu zahrady se střídá pravidelně plaňka a mezera). Kolik planěk má plot? Tomáš původně plánoval natírání plotu tím způsobem, že první den natře jednu plaňku (aby se nepředřel a aby mohl jít s kamarády ven) a každý následující den o jednu plaňku více než předchozí (aby teta Apolena příliš nehubovala). Na kolik dní by Tomášovi tímto způsobem práce vydržela? První den, když se chtěl pustit do práce, přišli kamarádi, kterým Tomáš po dlouhém (a hraném) zdráhání natírání plotu svěřil. Za patřičný počet růžových lístečků, pochopitelně! Kamarádi pracovali tak, že první den natřeli 10 planěk a každý následující den vždy o stejný počet více než den předchozí. Za 10 dní byli chlapci hotovi. O kolik planěk natřeli každý den více než minulý den?
325.) Jeden žebřík měl 50 příčlí. Na prvním seděl jeden holub, na třetím dva, na pátém tři, na sedmém čtyři, … Kolik holubů sedělo na 49. příčli? Kolik holubů bylo na žebříku celkem?
324.) Egyptská úloha: Sto měr zrní se má rozdělit mezi pět dělníků tak, aby druhý dělník dostal o tolik měr více než první, o kolik třetí dostal více než druhý, čtvrtý než třetí a pátý než čtvrtý. Kromě toho mají první dva dělníci dostat dohromady sedmkrát méně měr zrní než ostatní tři. Kolik měr zrní dostali jednotliví dělníci?
323.) Jakou dráhu urazí jehla gramofonové přenosky na standardní desce, má-li deska 260 závitů, vnější poloměr spirály je 50 mm a vnější poloměr spirály je 120 mm?
322.) Přátelé si vyprávěli o svých rodinách. Krátkému se vysmívali, že se chová jako jedináček, ale on jim na to odpověděl: „Mýlíte se, já jsem nejstarší z patnácti dětí. Jsem právě osmkrát starší než můj nejmladší bratr. Každý další bratr se narodil půldruhého roku po svém předchůdci.“ Kolik let je Krátkému a jeho nejmladšímu bratrovi?
321.) 200 Kč začnu prodávat tak, že první korunu prodám za haléř, druhou za dva haléře, třetí za tři, ... Vydělám nebo prodělám na tomto obchodu?
320.) V zahradě je 30 záhonků (viz obr). Každý má délku 16 m a šířku 2,5 m . K zalévání nosí zahradník vodu ve vědrech ze studny vzdálené 14 m od zahrady, přičemž obchází záhony po mezích. Najednou přinese vodu na jeden záhon. Kolik metrů ujde, než zalije všechny záhony, pokud cesta začíná a končí u studny?
319.) V řadě za sebou je 100 kamenů vzdálených od sebe 10 kroků. Deset kroků před prvním kamenem leží košík. Sběrač má za úkol přenést postupně všechny kamene do košíku tím způsobem, že od košíku jde pro první kámen a s ním se vrací do košíku, poté jde pro druhý kámen a opět se vrací ke košíku, .... Určete kolik kroků sběrač ujde.
318.) Dá-li se na první pole šachovnice 6 zrnek a na každé další pole o 4 zrnka více než na předcházející, kolik zrnek bude na všech 64 polích?
317.) V podniku měli v lednu při výrobě součástek 20 kusů závadných. Počet těchto závadných součástek se každý měsíc pravidelně zmenšoval o 2 kusy. Kdy (ve kterém měsíci) bylo všech závadných kusů dohromady 98?
316.) Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 91 rour, je-li v poslední vrstvě jen jedna roura? Kolik rour je v nejnižší vrstvě?
315.) Ve městě se buduje hlediště letního kina pro přibližně 1200 diváků. Do první řady je plánováno 40 sedadel, do každé následující pak o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště?
314.) Část střechy domu, kterou je třeba pokrýt taškami, má tvar lichoběžníku. Do řady u hřebenu střechy se vejde 85 tašek, do spodní řady u okapu se vejde 102 tašek. Tašky budou srovnány do řad tak, že do v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik korun budou stát tašky na celou uvažovanou část střechy při ceně 15,- korun za jednu tašku?
313.) Co je větší a o kolik: součet prvních 50 lichých přirozených čísel nebo součet prvních 50 sudých přirozených čísel?
312.) Velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24 cm. Určete velikosti stran a úhlů tohoto trojúhelníka.
311.) Pro která reálná čísla x jsou čísla
tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti?
310.) 3.21 Existuje konvexní n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a každý další úhel je větší o 4° než předchozí? Pokud ano, určete kolik má tento n-úhelník vrcholů.
309.) V aritmetické posloupnosti 3, 6, 9, ... vyhledejte člen, který se rovná polovině součtu všech předchozích.
308.) Mezi čísla 4 a 37 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 246. Určete počet vložených čísel a diferenci takto vytvořené aritmetické posloupnosti.
307.) Mezi čísla -5 a 4 je třeba vložit další členy tak, aby vznikla aritmetická posloupnost, jejíž součet je -6,5. Kolik je nových členů a které to jsou?
306.) Aritmetická posloupnost, jejíž první člen je 7 a diference 3, má součet členů 420. Kolik členů má posloupnost a jaký je její poslední člen?
305.) V aritmetické posloupnosti s osmi členy je součin obou krajních členů 100, součet dvou prostředních členů je 29. Určete tuto posloupnost.
304.) Součet prvního a pátého členu aritmetické posloupnosti je 9, součet třetího a čtvrtého členu je o
větší než součet prvního a pátého. Určete prvních pět členů této posloupnosti.
303.) 3.14 Vypočítejte první a poslední člen aritmetické posloupnosti, která má dvanáct členů, je-li d = 3 a s12=168.
302.) Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti, v níž platí:
301.) Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti, v níž platí:
300.) Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti, v níž platí:
299.) Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti, v níž platí:
298.) Určete součet prvních 100 čísel, která při dělení číslem 5 dávají zbytek 1.
297.) Určete součet všech lichých trojciferných přirozených čísel.
296.) Určete součet prvních 100 členů aritmetické posloupnosti
295.) V aritmetické posloupnosti
je dáno: a5=10 a a9=22. Určete diferenci této posloupnosti a členy a7 a a25. Vyjádřete její n-tý člen.
294.) Zjistěte, jestli následující posloupnost je aritmetická či nikoliv:
293.) Zjistěte, jestli následující posloupnost je aritmetická či nikoliv:
292.) Zjistěte, jestli následující posloupnost je aritmetická či nikoliv:
291.) Zjistěte, jestli následující posloupnost je aritmetická či nikoliv:
290.) Zjistěte, jestli následující posloupnost je aritmetická či nikoliv:
Zdroje:
REICHL: Matematika. [cit. 7.8.2005 ]. Praha , SPŠST 2004. Dostupné na Internetu: http://vyuka.panska.cz/reichl/matematika/matematika.htm